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제목 학습법 수학, 제발 이렇게만 하자! - 확실하고 정석적인 수학공부의 원리
작성일 2019.09.23	추천수12 댓글21
안녕하세요, 현재원 멘토입니다! 분명히 같은 9월이지만, 여러분 모두 제각각의 진도에서 열심히 나아가고 있는 다른 9월을 보내고 있을 겁니다. 이번 시간에는 중학생, 고등학생, 그리고 수능을 얼마나 남기지 않은 수험생들까지 공감할 수 있는 수학 얘기를 해보려고 해요. 저는 수학 과외, 수학 학원조교, 수학 봉사활동을 한 경험들이 있는데 이 때 느끼는 것은 조금의 무기력함입니다. 왜냐면 대부분의 학생들은 수학 공부의 원칙만 정확히 체화하면 혼자 해낼 수 있는 힘이 있거든요. 이번 시간에는 간단하지만 명백한, 수학 공부의 원리에 대해 알아보고자 합니다. 일단, 수학 과목의 성향과 정확히 반대되는 용어는 ‘애매모호함’입니다. 수학은 철저히 논리로 이루어진 과목이기 때문에, 식의 처음부터 결과를 유도하기까지 모든 과정이 정확하고 필연적이어야 합니다. 수학을 잘하는지 못하는지는 학생에게 이 문제를 어떻게 풀었는지 질문만 하면 바로 알 수 있습니다. 문제를 맞게 풀었는데도 “~하지 않을까요?”라며 눈치를 보며 풀이를 설명하려는 학생이라면 일단 꽝입니다. 자신이 시도한 사고과정이 수학체계에서 정확하다고 확신하며 신나게 설명할 줄 아는 학생이 되어야 합니다. 여러분은 어떤 학생인가요? 지금부터 수학 문제를 어떻게 풀어야 하는지 본격적인 얘기로 넘어갈 것인데 여러분 앞에 수학 문제가 하나 있다고 생각하세요. 저는 예시로 최근에 있었던 고3 9월 평가원 30번 문제를 들겠으나, 문제를 푸는 형식을 이해하는 것에 초점을 맞추면 좋겠습니다. ‘문제에 정답이 있다.’라는 말을 들어보신 적이 있을 겁니다. 저는 학생 때 이 말이 굉장히 짜증스럽게 느껴졌었는데, 사실 이 문장이 하려는 말은 ‘나열된 문제의 조건들을 모두 뽑아내라’인 것 같습니다. 문제는 줄글로 써져 있고, 그 안에 여러 개의 정보들이 있습니다. 문제가 안 풀린다는 학생들 중 상당수가 조건 1개 이상을 잊어버리거나 어떻게 활용할지 몰라서입니다. 조건들을 뽑아내는 연습이 미숙하다면, 문제에서 조건들을 모두 밑줄을 쳐서 개수를 정확히 세세요. 이 조건들은 풀이(사고)과정을 전개하는 과정에서 필연적 근거가 됩니다. 따라서 첫 번째 조건이 곧 풀이 시작의 근거입니다. 문제에서 n개의 조건을 다 뽑아내셨다면, 이들을 적절히 배열하여 연결해 가는 것이 핵심입니다. 즉, 수학 문제를 푸는 것은 조건들을 따라 가며 필연적으로 풀이 과정을 전개하여 답을 도출하는 과정입니다. 조건과 조건 사이의 공백은 학생이 스스로 채워야 하는 것인데, 이렇게 자연스럽게 사고의 단계들을 연결해 가며 문제를 완벽하게 풀어낼 수 있습니다. 이렇게 풀이를 전개해 나가는 것이 곧 수학 실력인 것이고, 이를 위해 우리는 수학 문제들을 푸는 연습들을 하며 이 실력을 쌓는 것입니다. 그리고, 풀이의 단계 하나하나가 계산 실수나 오류 없이 정확하다는 자신감도 수학공부를 통해 얻어야 합니다. 이제 9평 30번 문제를 풀어보겠습니다. 2019년 9월 모의고사 수학 가형 30번(출처: 한국교육과정평가원) 이 문제에서 뽑아낼 수 있는 정보(조건)는 2개입니다. 이제 이들을 바탕으로, 풀이를 전개하면 됩니다. 다음은 제가 이 문제를 푼 과정을 나타낸 것이고, 총 7개 정도의 풀이 단계를 거쳐 답을 유도할 수 있었습니다. 풀이를 보면 알 수 있다시피, 1번째 풀이 단계가 2번째로 이어지고, 2번째가 3번째, … , 앞의 풀이가 다음으로 자연스럽게 이어집니다. 그리고 f’(1)을 구하면서 풀이를 시작한 이유는, 함수 f(x)에 대한 이 식에서 f(1)도, f(3)도 모르기 때문에 x=0을 대입해서, 함수 f(x)에 대한 정보를 더 얻기 위함이었습니다. 즉 모든 단계의 식은 이유가 있어야 하고, 수학 공부를 하면서 여러 문제를 풀어내는 연습을 하면서 이런 사고들을 더 자연스럽게 해낼 수 있습니다. 이 풀이 단계들을 스스로 생각하며 이어가야 하기 때문에, 모범 풀이를 보는 것은 당연히 도움이 되지 않습니다. 또 하나 눈 여겨 볼 수 있는 점이, 풀이단계에서 다음 풀이로 넘어갈 때, 또는 한 단계 안에서 수학 개념들이 쓰이는 것을 볼 수 있습니다. 이 문제는 치환 적분과 부분 적분의 개념을 알아야지만 풀 수 있는 문제입니다. 즉, 수학 공부의 가장 기본은 개념일 수 밖에 없습니다. 특히 수학 문제에서는 여러 개념들을 복합적으로 연결하여 풀어내길 요구하기 때문에, 교육과정 상의 모든 개념이 완벽히 머릿속에 안착되어 있는 것이 중요합니다. 따라서 개념 공부도 확실하게 하되, 문제를 풀다가 조금이라도 아리까리한 개념이 나오면 교과서로, 기본서로 돌아가서 완벽하게 채우는 습관을 가져야 합니다. 이런 게 진정한 공부고, 어려운 문제를 풀려고 매달리는 것보다 부족한 부분들의 빈틈을 메꾸는 것이 훨씬 더 중요합니다. 저는 수학 공부, 그니까 수학 문제를 풀어내는 과정이 하나의 스토리라고 생각합니다. 이 문제의 조건들과 수학 교육과정에서 배운 개념들을 바탕으로 논리적으로 풀이의 단계들을 밟아 결론을 도출하는 스토리인 거죠! 수학 문제를 푸는 것을 도식화 하면 다음과 같습니다. 이제 수학 문제를 풀다가 막혔을 때 유용할 수 있는 팁을 말해 보겠습니다. 첫 번째로, 정상적인 문제라면, 조건을 모두 이용하여야 결론을 도출할 수 있으므로, 풀다가 막혔다면 안 쓴 조건들만 다시 한 번 차분히 보면서 다음 단계로 이어갈 수 있는 걸 찾아야 합니다. 이는 실제로 제가 캠프에서 멘토로 활동할 때의 일인데, 한 문제에서 끙끙되는 친구에게 ‘안 쓴 조건을 확인하라’라는 당연한 조언을 했더니 그 친구는 바로 풀어 낼 수 있었습니다. 두 번째로, 문제에서 구하라는 것, 즉 풀이의 최종 단계도 하나의 힌트로 작용할 수 있습니다. 문제에서 구하라는 것이 무엇인지 확인해보면서 그것의 전단계를 역으로 추적해 보는 것입니다. 이 또한 조건과 답 사이의 공백을 연결해주는 데 큰 도움이 될 수 있습니다. 그럼에도 안 풀린다, 그러면 어떡해야 할까요? 저라면 제가 쓴 풀이를 한번만 정확하게 검토할 것입니다. 논리의 오류나 계산실수가 있는지 확인해보는 것입니다. 만약 잘못된 것이 있었으면 다시 그 곳부터 시작하는 것이고, 그 단계까지가 확실히 맞다면 문제를 다시 읽으면서 다음 단계를 찾는 것입니다. 지금까지 시험장에서, 그리고 평소에 수학 공부를 하면서 수학 문제를 어떻게 풀어야 하는지 알아보았어요. 저는 이것이 수능이나 내신 수학에 대한 원리의 모든 것이라고 자부합니다. 이제 이 원리를 이해하셨다면, 시간을 투자하면서 수학 실력을 쌓는 것만 남아있는 것이겠죠? 이 부분은 여러분께 믿고 맡기겠습니다. 수학도 재미있고 자신 있는 과목이 될 수 있습니다. 앗, 그리고 수험생들에게만 조언을 하나 하자면, 수능장에서 30번, 29번이나 21번 등에 대한 두려움을 극복하셔야 합니다. ‘나는 못 풀 것이야’라는 생각 하나는 정말 무서운 것입니다. 충분히 풀 잠재력이 있어도 풀지 못하는 상황이 벌어질 수 있으니까요. 그럼 여러분을 항상 응원하며, 저는 이만 물러가겠습니다! ※ 본 칼럼의 저작권은 (주)좋은책신사고에 있으며, 무단 전제 및 복제를 금합니다.